Desigualdades
posted by Diego
posted 100d 11h ago
1) \forall a,b \in \mathbb{R}\;(\,|a|-|b|\leq|a-b|\,)

|a|=|(a-b)+b|\leq|a-b|+|b|\Rightarrow|a|-|b|\leq|a-b|\;\;\;\;\;\;\;\;\blacksquare




2)\forall a,b \in \mathbb{R}\;(\,\big| |a|-|b|\big|\leq|a-b|\,)

\mbox{De }1)\mbox{ temos:}

|a|-|b|\leq|a-b|\;(i)


\mbox{E também que }

|b|-|a|\leq|b-a|\;(ii)


\mbox{Mas sabemos que }|a-b|=|b-a|\mbox{ e assim teremos o seguinte}

|b|-|a|\leq|b-a|\Leftrightarrow -(|a|-|b|)\leq|b-a|=|a-b|\Leftrightarrow-|a-b|\leq |a|-|b|


\mbox{Vamos juntar esse resultado a }(i)

\begin{cases} |a|-|b|\leq|a-b|\\ -|a-b|\leq |a|-|b| \end{cases} \Rightarrow -|a-b|\leq|a|-|b|\leq|a-b| \Leftrightarrow \big| |a|-|b|\big|\leq|a-b|\;\;\;\;\;\;\;\;\blacksquare
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