Untitled
posted by Anonymous
posted 2y 247d ago
Vi ved iflg. formelsamlingen i TL at
\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n

Lad os differentiere paa begge sider, vi faar
\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}

og gange med x paa begge sider
\frac{x}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^\infty nx^{n}

herefter differentierer vi begge sider igen og omskriver til
\begin{align} \frac{1}{(1-x)^2} + \frac{2x}{(1-x)^3} &= \sum_{n=0}^\infty n^2x^{n-1}\\ &\Leftrightarrow\\ \frac{1-x}{(1-x)^3} + \frac{2x}{(1-x)^3} &= \sum_{n=0}^\infty n^2x^{n-1}\\ &\Leftrightarrow\\ \frac{1+x}{(1-x)^3} &= \sum_{n=0}^\infty n^2x^{n-1} \end{align}

og ganger igen med x paa begge sider
\frac{x+x^2}{(1-x)^3} = \sum_{n=0}^\infty n^2x^n

Vi har nu fundet vores sumfunktion.
Reply to this post

Replies

Untitled
posted by Ohm
posted 2y 247d ago
Du skulle gerne få n^2 x^{2n} til sidst, men det er fint nok, da du kan gøre det nedefra og op, og så ned igen.

Du vil så på et tidspunkt få
\sum^\infty_{n=0} \frac{1}{4} x^{2n}

men dette er fint nok, da der i starten af afsnittet omkring rækker (altså 12.1) står noget om denne slags rækker og at dette er lig
\frac{\frac{1}{4}}{1-x^2} = \frac{1}{4-4x^2}
Use this to start your reply
Submit Reply
Title: Your Name:
Wrap equations in [EQ]equation here[/EQ] tags, and inline equations in [IEQ][/IEQ] tags.